ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И
ОПРОВЕРЖЕНИЕ
Доказательство и его структура
Прямое и косвенное доказательство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ЕГО
СТРУКТУРА
Невозможно переоценить значение доказательств в нашей жизни и особенно в науке. И тем не менее доказательства встречаются не так часто, как хотелось бы. Иногда за доказательство выдается то, что им вовсе не является. К доказательствам прибегают все, но редко кто задумывается над тем, что означает «доказать», почему доказательство «доказывает», всякое ли утверждение можно доказать или опровергнуть, все ли нужно доказывать и т.п.
Определение доказательства
Наше представление о
доказательстве как особой интеллектуальной операции формируется в процессе
проведения конкретных доказательств. Изучая разные области знания, мы усваиваем
и относящиеся к ним доказательства. На этой основе мы постепенно составляем –
чаще всего незаметно для себя – общее интуитивное представление о
доказательстве как таковом, его общей структуре, не зависящей от конкретного
материала, о целях и смысле доказательства и т.д.
Особую роль при этом играет
изучение математики. С незапамятных времен математические рассуждения считаются
общепризнанным эталоном доказательства. Желая похвалить чью-либо аргументацию,
мы называем ее математически строгой и безупречной.
Изучение доказательства на
конкретных его образцах и интересно, и полезно. Но также необходимо знакомство
с основами логической теории доказательства, которая говорит о доказательствах безотносительно к области их применения.
Практические навыки доказательства и интуитивное представление о нем достаточны
для многих целей, но далеко не для всех. Практика и здесь, как обычно,
нуждается в теории.
Логическая теория доказательства в основе своей проста
и доступна, хотя ее детализация требует специального символического языка и
другой изощренной техники современной логики.
Под доказательством в
логике понимается процедура установления истинности некоторого утверждения
путем приведения других утверждений, истинность которых уже известна и из
которых с необходимостью вытекает первое.
В доказательстве различаются тезис – утверждение,
которое нужно доказать, основание (аргументы) – те положения, с помощью которых доказывается тезис, и
логическая связь между аргументами и тезисом. Понятие доказательства
всегда предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается
тезис, и тех логических правил, по которым осуществляются преобразования
утверждений в ходе доказательства. В обычной практике мы редко формулируем все
используемые посылки и, в сущности, никогда не обращаем внимания на применяемые
нами правила логики.
Одна из основных задач логики состоит в придании
точного значения понятию доказательства. Но хотя это понятие является едва ли
не главным в логике, оно не имеет точного, строго универсального определения,
применимого во всех случаях и в любых научных теориях.
«Понятие доказательства, – пишет отечественный логик и
математик В.А. Успенский, – во
всей его полноте принадлежит математике не более, чем психологии: ведь
доказательство – это просто рассуждение,
убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других».
Доказательство – один из
многих способов убеждения. В науке это один из основных методов. Можно сказать,
что научный метод убеждения является прежде всего методом строгих и точных
доказательств. Требование доказательности научного рассуждения определяет то
«общее освещение», которое модифицирует попавшие в сферу его действия цвета.
Этим «общим освещением» пронизываются все другие требования к научной
аргументации. Без него она неизбежно вырождается в бездоказательный набор общих
деклараций и поучений, в апелляцию к вере и эмоциям.
На каждом из нас лежит «бремя доказательства»
выдвигаемых положений. Важно постоянно думать о содержательной стороне дела.
Вместе с тем существенно также, чтобы всегда обеспечивалось единство
содержательности и доказательности. Никакие искусственные приемы, никакое
красноречие не способны помочь, если нет хорошо обоснованных идей и
убедительных доказательств.
Задача доказательства –
исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого тезиса.
Раз в доказательстве речь идет о полном подтверждении,
связь между аргументами и тезисом должна носить логически необходимый характер.
По своей форме доказательство – логически необходимое
умозаключение или цепочка таких умозаключений, ведущих от истинных посылок
к доказываемому положению.
Старая латинская пословица говорит: «Доказательства
ценятся по качеству, а не по количеству». В самом деле, логический вывод из
истины дает только истину. Если найдены верные аргументы и из них выведено
доказываемое положение, доказательство состоялось, и ничего более не требуется.
Доказательство в широком
смысле
Нередко в понятие доказательства вкладывается более
широкий смысл. При этом под доказательством понимается любая процедура
обоснования истинности тезиса, включающая как логический вывод, так и
правоподобное рассуждение, ссылки на связь доказываемого положения с фактами,
наблюдениями и т.д. Расширительное истолкование доказательства является обычным
в гуманитарных науках. Оно встречается и в экспериментальных, опирающихся на
наблюдения рассуждениях.
Как правило, широко понимается доказательство и в
обычной жизни. Для подтверждения выдвинутой идеи активно привлекаются факты,
типичные в определенном отношении явления и т.п. Дедукции в этом случае,
конечно, нет, речь может идти только об индукции. Но тем не менее предлагаемое
обоснование нередко называют доказательством.
Широкое употребление понятия «доказательство» само по
себе не ведет к недоразумениям. Но только при одном условии. Нужно постоянно
иметь в виду, что праводоподобное обобщение, переход от частных фактов к общим
заключениям дает не достоверное, а лишь вероятное знание.
Многие наши
утверждения не являются ни истинными, ни ложными. Оценки, правила, советы,
требования, предостережения не описывают рассматриваемую ситуацию. Они
указывают, какой она должна стать, в каком направлении ее надо преобразовать.
От описаний мы вправе требовать, чтобы они являлись истинными. Но удачный
приказ, совет и т.д. мы характеризуем как эффективный, целесообразный, но не
как истинный.
В стандартном определении доказательства используется
понятие истины. Доказать некоторый тезис – значит
логически вывести его из других являющихся истинными положений. Но есть
утверждения, не связанные с истиной. Очевидно также, что, оперируя ими, можно и
нужно быть и логичным, и доказательным.
Возникает, таким образом, вопрос о существенном
расширении понятия доказательства. Им должны охватываться не только описания,
но и утверждения типа оценок, требований.
Задача переопределения доказательства успешно решается
современной логикой. Такие ее разделы, как логика оценок и логика норм,
убедительно показывают, что рассуждения о ценностях и нормах также подчиняются
требованиям логики и не выходят за сферу логического.
ПРЯМОЕ
И КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Обычно доказательство слагается из серии шагов. Нужно
уметь проследить каждый шаг доказательства, иначе его части лишатся связи, и
оно в любой момент может рассыпаться, как карточный домик. Но не менее важно
понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой
необходима на своем месте.
Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не
убеждает. Даже если выучить его наизусть, предложение за предложением, к
имеющемуся знанию предмета это ничего не прибавит. Следить за доказательством и
лишь убеждаться в правильности каждого его последующего шага – это равносильно такому наблюдению за игрой в шахматы,
когда замечаешь только то, что каждый ход подчинен правилам игры.
Минимальное требование – это
понимание логического выведения как целенаправленной процедуры. Только в этом
случае достигается интуитивная ясность того, что мы делаем.
То, что создает «единство доказательства», можно
представить в форме общей схемы, охватывающей основные его шаги, воплощающей в
себе его принцип или его итоговую структуру. Именно такая схема остается в
памяти, когда забываются подробности доказательства.
Прямое доказательство
С точки зрения общего движения мысли все
доказательства подразделяются на прямые и косвенные.
При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы
подыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам
получается тезис.
Например, нужно доказать, что
сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести
этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника.
Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что
сумма углов треугольника составляет 180°. Из этих положений выводим, что сумма
углов четырехугольника равна 360°.
В построении прямого доказательства можно выделить два
связанных между собой этапа: отыскание тех признанных обоснованными
утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого
положения; установление логической связи между найденными аргументами и
тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным, и под доказательством
понимается логический вывод, связывающий подобранные аргументы и доказываемый
тезис.
Еще пример. Нужно доказать,
что космические корабли подчиняются действию законов небесной механики.
Известно, что эти законы универсальны: им подчиняются все тела в любых точках
космического пространства. Очевидно также, что космический корабль есть
космическое тело. Отметив это, строим соответствующее умозаключение. Оно
является прямым доказательством рассматриваемого утверждения.
Косвенное доказательство
Косвенное доказательство устанавливает справедливость
тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения
(антитезиса).
Как с иронией замечает
математик Д. Пойа, «косвенное доказательство имеет некоторое сходство с
надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что
опорочивает репутацию кандидата другой партии». В косвенном доказательстве
рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы прямо отыскивать
аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется
антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается
несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из
противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным.
Антитезис ошибочен, значит, тезис верен.
Поскольку косвенное доказательство использует
отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством
от противного.
Допустим, нужно построить косвенное доказательство
такого весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью».
Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо доказать ложность
этого утверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из
них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого
выведено следствие, также ложно. Неверно, в частности, такое следствие: у
квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен быть
истинным.
Другой пример. Врач, убеждая пациента, что тот не
болен гриппом, рассуждает так. Если бы действительно был грипп, имелись бы
характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т.п. Но
ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа.
Это опять-таки косвенное доказательство. Вместо
прямого обоснования тезиса выдвигается антитезис, что у пациента в самом деле
грипп. Из антитезиса выводятся следствия, но они опровергаются объективными
данными. Это говорит, что допущение о гриппе неверно. Отсюда следует, что тезис
«Гриппа нет» истинен.
Доказательства от противного обычны в наших
рассуждениях, особенно в споре. При умелом применении они могут обладать
особенной убедительностью.
Ход мысли в косвенном доказательстве определяется тем,
что вместо обоснования справедливости тезиса стремятся показать
несостоятельность его отрицания. В зависимости от того как решается последняя
задача, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства.
Следствия, противоречащие
фактам
Чаще всего ложность антитезиса удается установить
простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами. Так обстояло
дело, в частности, в примере с гриппом.
Друг изобретателя паровой
машины Д. Уатта шотландский ученый Д. Блэк ввел понятие о скрытой теплоте
плавления и испарения, важное для понимания работы такой машины. Блэк, наблюдая
обычное явление – таяние снега в конце зимы,
рассуждал так. Если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, как только
температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были бы опустошительные
наводнения. А раз этого не происходит, значит, на таяние снега должно быть
затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк и назвал скрытой.
Это – косвенное доказательство.
Следствие антитезиса, а значит, и он сам опровергаются ссылкой на очевидное
обстоятельство: в конце зимы наводнений обычно нет, снег тает постепенно.
Философ Р. Декарт утверждал,
что животные не способны рассуждать. Его последователь Л. Расин, сын великого
французского драматурга, воспользовался для обоснования этой идеи
доказательством от противного. Если бы животные обладали душой и способностью
чувствовать и рассуждать, говорил он, разве они остались бы безразличными к
несправедливому публичному оскорблению, нанесенному им Декартом? Разве они не
восстали бы в гневе против того, кто так принизил их? Но никаких свидетельств
особой обиды животных на Декарта нет. Следовательно, они просто не в состоянии
обдумать его аргументацию и как-то ответить на нее.
Внутренне противоречивые
следствия
По логическому закону противоречия одно из двух
противоречащих друг другу утверждений ложно. Поэтому, если в числе следствий
какого-либо положения встретились и утверждение, и отрицание одного и того же,
можно сразу сказать, что это положение ложно.
Например, положение «Квадрат – это окружность» ложно,
поскольку из него выводится как то, что квадрат имеет углы, так и то, что у
него нет углов.
Ложным будет
также положение, из которого выводится внутренне противоречивое высказывание
или высказывание о тождестве утверждения и отрицания.
Один из приемов косвенного доказательства – выведение из антитезиса логического противоречия. Если
антитезис содержит противоречие, он явно ошибочен. Тогда его отрицание – тезис доказательства –
верно.
Хорошим примером косвенного доказательства служит
известное доказательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен.
Простые – это натуральные числа больше
единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа – это как бы «первичные
элементы», на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены.
Естественно предположить, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и
посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен,
существует последнее простое число ряда – А. Образуем, далее, другое число: В = (2хЗх5х... х А)
+ 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым
числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить
на любое из чисел 2, 3, 5,..., А, то в остатке получится 1..
Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и
является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что
существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число
одновременно и простое, и не являющееся простым. Это означает, что сделанное
предположение ложно и правильно противоположное утверждение: ряд простых чисел
бесконечен.
В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится
логическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и,
соответственно, об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко
используются в математике.
Если имеется в виду только та часть подобных
доказательств, в которой показывается ошибочность какого-либо предположения,
они именуются по традиции приведением к абсурду. Ошибочность
предположения вскрывается тем, что из него выводится абсурд, т.е.
логическое противоречие.
Имеется еще одна разновидность косвенного
доказательства, когда прямо не приходится искать ложные следствия. Дело в том,
что для доказательства утверждения достаточно показать, что оно логически
вытекает из своего собственного отрицания.
К примеру, если из допущения, что дважды два равно
пяти, выведено, что это не так, тем самым доказано, что дважды два не равняется
пяти.
По такой схеме рассуждал еще Евклид в своей
«Геометрии». Эту же схему использовал однажды древнегреческий философ Демокрит
в споре с другим древнегреческим философом, софистом Протагором. Протагор
утверждал, что истинно все то, что кому-либо приходит в голову. На это Демокрит
ответил, что из положения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и
его отрицания «Не все высказывания истинны». И значит, это отрицание, а не
положение Протагора на самом деле истинно.
Разделительное
доказательство
Во всех рассмотренных косвенных доказательствах
выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность
последнего, в итоге остается только тезис.
Можно не ограничивать число принимаемых во внимание
возможностей только двумя. Это приведет к так называемому разделительному
косвенному доказательству, или доказательству через исключение. Оно
применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в
число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной
области.
Например, нужно доказать, что одна величина равна
другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или
первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать,
что ни одна из величин не превосходит другую, два варианта будут отброшены и
останется только третий: величины равны.
Доказательство идет по простой схеме: одна за другой
исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом.
В разделительном доказательстве взаимная
несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые
альтернативы, определяются не логическими, а фактическими обстоятельствами.
Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все
возможности.
С помощью разделительного доказательства можно
попытаться, например, показать, что в Солнечной системе жизнь есть только на
Земле. В качестве возможных альтернатив выдвинем утверждения, что жизнь есть на
Меркурии, Венере, Земле и т.д., перечисляя все планеты Солнечной системы.
Опровергая затем все альтернативы, кроме одной –
говорящей о наличии жизни на Земле, получим доказательство исходного
утверждения.
Нужно заметить,
что в ходе доказательства рассматриваются и опровергаются допущения о
существовании жизни на других планетах. Вопрос о том, если ли жизнь на Земле,
вообще не поднимается. Ответ получается косвенным образом: путем показа того,
что ни на одной другой планете нет жизни. Это доказательство оказалось бы,
конечно, несостоятельным, если бы, допустим, выяснилось, что, хотя ни на одной
планете, кроме Земли, жизни нет, живые существа имеются на одной из комет или
на одной из так называемых малых планет, тоже входящих в состав Солнечной
системы.
Заканчивая разговор о косвенных доказательствах,
обратим внимание на их своеобразие, ограничивающее в известной мере их
применимость.
Нет сомнения, что косвенное доказательство
представляет собой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним дело, мы
вынуждены все время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость
которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Сам ход
доказательства состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, мы выводим
следствия до тех пор, пока не придем к утверждению, ошибочность которого
несомненна.
Косвенное доказательство – хорошее орудие исследования, но оно не всегда удачный
прием изложения материала. Не случайно в практике преподавания нередок такой
парадоксальный совет: после того как косвенное доказательство проведено, ход его
полезно тут же забыть, оставив в памяти только доказанное положение.
Имеются также более серьезные возражения против
косвенного доказательства. Они связаны с использованием в нем закона
исключенного третьего. Как уже говорилось, не всеми он признается универсальным,
приложимым в любых без исключения случаях.
Можно отметить, что найденное косвенное доказательство
какого-то утверждения обычно удается перестроить в прямое доказательство этого
же утверждения. Обычно, но не всегда.
О доказательстве в логике говорится много, об
опровержении – только вскользь. Причина понятна: опровержение
представляет собой как бы зеркальное отображение доказательства.
Способы опровержения
Опровержение – это рассуждение,
направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление
его ошибочности или недоказанности.
Наиболее распространенный прием опровержения – выведение из опровергаемого утверждения следствий,
противоречащих истине. Хорошо известно, что, если даже одно-единственное
логическое следствие некоторого положения неверно, ошибочным будет и само это
положение.
Уже на первых уроках физики в школе показывается опыт,
придуманный когда-то итальянским физиком Э. Торричелли. Стеклянную трубку,
запаянную с одного конца, наполняют ртутью и опрокидывают в чашку с ртутью.
Ртуть из трубки не выливается, она только опускается немного, и над нею
образуется вакуум, «торричеллиева пустота». Ртуть в трубке на определенном
уровне поддерживает давление атмосферы. «Опыты с несомненностью доказывают, – заявлял Торричелли, – что
воздух имеет вес...»
Если кто-либо утверждает, что воздух невесом, можно
сослаться на этот опыт. Если бы воздух не имел веса, он не давил бы на ртуть в
чашке и уровень ртути в трубке сравнялся бы с уровнем в чашке. Но этого не
происходит, значит, неверно, что у воздуха нет веса.
Другой прием установления несостоятельности
выдвигаемого кем-либо положения – доказательство
справедливости отрицания этого положения. Утверждение и его отрицание не
могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что верно
отрицание рассматриваемого положения, вопрос об истинности самого этого
положения автоматически отпадет. Достаточно, скажем, показать одного черного
лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в том, что лебеди бывают только белыми.
В романе И.С. Тургенева
«Рудин» есть такой диалог: «Стало быть, по-вашему, убеждений нет?» – «Нет – и не существует». – «Это ваше убеждение?» – «Да». – «Как же вы говорите, что их
нет? Вот вам уже одно на первый случай».
Ошибочному мнению, что никаких убеждений нет,
противопоставляется его отрицание: есть по крайней мере одно убеждение, а
именно убеждение, что убеждений нет. Особенность этого случая в том, что
отрицание вытекает из самого исходного положения и не требует специального
обоснования.
Эти два приема
применимы для опровержения любого утверждения, независимо от того,
поддерживается оно какими-либо аргументами или нет. Выводя из утверждения
неверное следствие или показывая справедливость отрицания утверждения, мы тем
самым доказываем ложность самого утверждения. И какие бы аргументы ни
приводились в защиту последнего, они не составят его доказательства. Доказать,
как известно, можно только истинное утверждение.
Если положение выдвигается с каким-либо обоснованием,
операция опровержения может быть направлена против обоснования. В этом
случае надо показать, что приводимые аргументы ошибочны: вывести из них
следствия, которые окажутся в итоге несостоятельными, или доказать утверждения,
противоречащие аргументам.
Следует иметь в виду, что опровержение доводов,
приводимых в поддержку какого-либо положения, не означает еще неправильности
самого этого положения. Утверждение, являющееся по сути верным, может
отстаиваться с помощью ошибочных или слабых доводов. Выявляя это, мы
демонстрируем именно ненадежность предлагаемого обоснования, а не ложность
утверждения. Неопытный спорщик, как правило, отказывается от своей позиции,
обнаружив, что приводимые им доводы неубедительны. Нужно, однако, помнить, что
правильная в своей основе идея иногда подкрепляется не очень надежными, а то и
просто ошибочными соображениями. Когда это выясняется, следует искать другие,
более веские аргументы, а не спешить отказываться от самой идеи.
Мало раскритиковать аргументы оппонента в споре. Этим
будет показано только то, что его позиция плохо обоснована и шатка. Чтобы
вскрыть ее ошибочность, надо убедительно обосновать противоположную позицию.
Особое значение при опровержении имеют факты. Ссылка
на верные и неоспоримые факты, противоречащие ложным или сомнительным
утверждениям оппонента, – самый надежный и успешный
способ опровержения. Реальное явление или событие, не согласующееся со
следствиями какого-либо универсального положения, опровергает не только эти
следствия, но и само положение. Факты, как известно, упрямая вещь. При
опровержении ошибочных, оторванных от реальности, умозрительных конструкций
«упрямство фактов» проявляется особенно ярко.
Опровержение может быть направлено на саму связь
аргументов и доказываемого положения. В этом случае надо показать, что тезис не
вытекает из доводов, приведенных в его обоснование. Если между аргументами и
тезисом нет логической связи, то нет и доказательства тезиса с помощью
указанных аргументов. Из этого не следует, конечно, ни то, что аргументы
ошибочны, ни то, что тезис ложен.
Ошибка в доказательстве – вещь
довольно обычная. Проводя доказательства, мы опираемся на нашу логическую
интуицию, на стихийно усвоенное знание законов логики. Как правило, оно нас не
подводит. Но в отдельных и особенно в сложных случаях оно может оказаться
ненадежным.
Эксперименты, проводившиеся психологами, показывают,
что едва ли не каждое четвертое наше умозаключение не опирается на закон
логики, а значит, является неправильным. Логику редко изучают специально.
Навыки логичного, т.е. последовательного и доказательного, мышления формируются
и совершенствуются в практике рассуждений. Но, как заметил английский философ
Ф. Бэкон, упражнения, не просветленные теорией, с одинаковым успехом закрепляют
как правильное, так и ошибочное.
Наше логическое чутье и наши навыки доказательства не
так безупречны, как это часто кажется. Полезно поэтому не упускать случая,
чтобы их усовершенствовать.
Провести четкую границу удается только тогда, когда
известно не только то, что охватывается ею, но и то, что остается за ее
пределами. Ясное понимание доказательства предполагает, помимо прочего,
определенное представление о рассуждениях, имеющих форму доказательства, но на
самом деле им не являющихся. Такие «несостоявшиеся доказательства» – результат ошибок, допущенных – непреднамеренно или сознательно – в ходе доказательства. Знакомство с наиболее
типичными из них способствует совершенствованию практических навыков
доказательства и позволяет лучше понять, что представляет собой «безошибочное»
доказательство.
Формальная ошибка
Доказательство – это
логическая связь принятых аргументов и выводимого из них тезиса. Логические
ошибки в доказательстве можно разделить на относящиеся к тезису, к аргументам и
к их связи.
Формальная ошибка имеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон
и заключение не вытекает из принятых посылок. Иногда эту ошибку сокращенно так
и называют – «не вытекает».
Допустим, кто-то рассуждает так: «Если я навещу дядю,
он подарит мне фотоаппарат, когда дядя подарит мне фотоаппарат, я продам его и
куплю велосипед: значит, если я навещу дядю, я продам его и куплю велосипед».
Ясно, что это –
несостоятельное рассуждение. Его заключение насчет «продажи дяди» абсурдно. Но
посылки безобидны и вполне могут быть истинными, так что источник беспокойства
не в них. Причина ошибки в самом выведении из принятых утверждений того, что в
них вообще не подразумевалось.
Вывод из верных посылок всегда дает верное заключение.
В данном случае заключение ложно. Значит, умозаключение не опирается на закон
логики и неправильно. Ошибка проста. Местоимение «его» может указывать на
разные предметы. В предложении «Я продам его и куплю велосипед» оно должно
указывать на фотоаппарат. Но выходит так, что на самом деле оно относится к
дяде.
Чтобы опровергнуть это неправильное рассуждение, надо
показать, что между принятыми посылками и сделанным на их основе заключением
нет логической связи.
Немецкий физик В. Нернст,
открывший третье начало термодинамики (о недостижимости абсолютного нуля
температуры), так «доказывал» завершение разработки фундаментальных законов
этого раздела физики: «У первого начала было три автора: Майер, Джоуль и
Гельмгольц; у второго – два:
Карно и Клаузиус, а у третьего – только
один: Нернст. Следовательно, число авторов четвертого начала термодинамики
должно равняться нулю, т.е. такого закона просто не может быть».
Это шуточное доказательство хорошо иллюстрирует
ситуацию, когда между аргументами и тезисом явно нет логической связи. Иллюзия
своеобразной «логичности» рассуждения создается чисто внешним для существа дела
перечислением.
В гробнице египетских
фараонов была найдена проволока. На этом основании один «египтолог» высказал
предположение, что в Древнем Египте был известен телеграф. Услышав об этом,
другой «исследователь» заключил, что, поскольку в гробницах ассирийских царей
никакой проволоки не найдено, в Древней Ассирии был уже известен беспроволочный
телеграф.
Предположение «египтолога» – если это не шутка – очевидная
нелепость. Еще большая глупость – если это
опять-таки не шутка – заключение «ассириолога». И
конечно же, никакой логической связи между этими «предположениями» и сделанными
как бы на их основе «заключениями» нет.
Встречаются, к счастью, довольно редко, хаотичные, аморфные
рассуждения. Внешне они имеют форму доказательств и даже претендуют на то,
чтобы считаться ими. В них есть слова «таким образом», «следовательно»,
«значит» и подобные им, призванные указывать на логическую связь аргументов и
доказываемого положения. Но эти рассуждения доказательствами на самом деле не
являются, поскольку логические связи подменяются в них психологическими
ассоциациями.
Вот, к примеру, рассуждение, внешне напоминающее
доказательство:
«Вечный двигатель признан
невозможным, так как он противоречит закону сохранения энергии, или первому
началу термодинамики. Когда было открыто второе начало термодинамики, стали
говорить о невозможности вечного двигателя второго рода. Это же можно сказать и
о вечном двигателе третьего рода, который запрещается третьим началом
термодинамики. Но четвертого начала термодинамики нет! Следовательно, ничто не
мешает создать вечный двигатель четвертого рода. И тем более вечный двигатель
пятого и так далее рода!»
Ошибки в отношении тезиса
Характерная ошибка в отношении тезиса – подмена тезиса, неосознанное или умышленное
замещение его в ходе доказательства каким-то другим утверждением. Подмена
тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать.
Тезис может сужаться, и в таком случае он
остается недоказанным. Например, для доказательства того, что сумма углов
треугольника равна двум прямым, недостаточно доказать, что эта сумма не больше
180°. Для обоснования того, что человек должен быть честным, мало доказать, что
разумному человеку не следует лгать.
Тезис может также расширяться. В этом случае
нужны дополнительные основания. И может оказаться, что из них вытекает не
только исходный тезис, но и какое-то иное, уже неприемлемое утверждение. «Кто
доказывает слишком много, тот ничего не доказывает», – эта старая латинская пословица как раз и имеет в виду
такую опасность.
Иногда случается полная подмена тезиса, притом она не
так редка, как это может показаться. Обычно она затемняется какими-то
обстоятельствами, связанными с конкретной ситуацией, и благодаря этому
ускользает от внимания.
Широкую известность получил случай с древнегреческим
философам Диогеном, которого однажды за подмену тезиса спора даже побили. Один
философ доказывал, что в мире, как он представляется нашему мышлению, нет движения,
нет многих вещей, а есть только одна-единственная вещь, притом неподвижная и
круглая. В порядке возражения Диоген встал и начал не спеша ходить перед
спорящими. За это его, если верить некоторым старым источникам, и побили
палкой.
Речь шла о том, что для нашего ума мир неподвижен.
Диоген же своим хождением пытался подтвердить другую мысль: в чувственно
воспринимаемом мире движение есть. Но это и не оспаривалось. Автор мнения, что
движения нет, считал, что чувства, говорящие о множественности вещей и их
движении, просто обманывают нас.
Разумеется, мнение, будто движения нет, ошибочно, как
ошибочна идея, что чувства не дают нам правильного представления о мире. Но раз
обсуждалось такое мнение, нужно было говорить о нем, а не о чем-то другом, хотя
бы и верном. Вот как описывает этот спор А.С. Пушкин:
Движенья нет, сказал мудрец
брадатый,
Другой смолчал и стал пред
ним ходить.
Сильнее бы не мог он
возразить;
Хвалили все ответ
замысловатый.
Но, господа, забавный случай
сей
Другой пример на память мне
приходит:
Ведь каждый день пред нами
солнце ходит,
Однако ж прав упрямый
Галилей.
Ошибки в отношении
аргументов
Наиболее частая ошибка – это
попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов.
Тигры, как известно, не летают. Но рассуждение «Только
птицы летают; тигры не птицы; следовательно, тигры не летают» не является,
конечно, доказательством этого факта. В рассуждении используется неверная
посылка, что способны летать одни птицы: летают и многие насекомые, и
млекопитающие (например, летучие мыши), и самолеты и др. С помощью же посылки
«Только птицы летают» можно вывести не только истинное, но и ложное заключение,
скажем, что майские жуки, поскольку они не птицы, не летают.
Довольно распространенной ошибкой является круг в
доказательстве: справедливость доказываемого положения обосновывается
посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме.
Если за основание доказательства принимается то, что еще нужно доказать,
обосновываемая мысль выводится из самой себя, и получается не доказательство, а
пустое хождение по кругу.
Почему мы видим через стекло? Обычный ответ: оно
прозрачно. Но назвать вещество прозрачным – значит
сказать, что сквозь него можно видеть.
В статье «Так что же нам
делать?» Л. Н. Толстой резко обвиняет политэкономию в явном порочном круге.
«Вопрос экономической науки, – пишет
Толстой, – в следующем: какая причина
того, что одни люди, имеющие землю и капитал, могут порабощать тех людей, у
которых нет земли и капитала?
Ответ, представляющийся
здравому смыслу, тот, что это происходит от денег, имеющих свойство порабощать
людей. Но наука отрицает это и говорит: это происходит не от свойства денег, а
оттого, что одни имеют землю и капитал, а другие не имеют их. Мы спрашиваем:
отчего люди, имеющие землю и капитал, порабощают неимущих? Нам отвечают:
оттого, что они имеют землю и капитал.
Да ведь мы просто это же
самое спрашиваем. Лишение земли и орудий труда и есть порабощение. Ведь это
ответ: усыпляет, потому что обладает снотворной силой».
Софизм представляет собой рассуждение, кажущееся
правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания
видимости истинности ложному заключению.
Софизм является особым приемом интеллектуального
мошенничества, попыткой выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение.
Отсюда «софист» в дурном значении – это человек,
готовый с помощью любых, в том числе и недозволенных, приемов отстаивать свои
убеждения, не считаясь с тем, верны они на самом деле или нет.
Софизмы известны еще с античности, тогда они
использовались для обоснования заведомых нелепостей, абсурда или парадоксальных
положений, противоречащих общепринятым представлениям.
Софизмы, ставшие знаменитыми еще в древности: «Что ты
не терял, то имеешь; рога ты не терял; значит, у тебя рога», «Сидящий встал;
кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит», «Этот пес твой; он отец;
значит, он твой отец».
Нетрудно заметить, что в софизме «рогатый»
обыгрывается двусмысленность выражения «то, что не терял». Иногда оно означает
«то, что имел и не потерял», а иногда просто «то, что не потерял, независимо от
того, имел или нет». В посылке «Что ты не терял, то имеешь» оборот «то, что ты
не терял» должен означать «то, что ты имел и не потерял», иначе эта посылка
окажется ложной. Но во второй посылке это значение уже не проходит:
высказывание «Рога – это то, что ты имел и не
потерял» является ложным.
Софизмы, использующие современный материал: «Одна и та
же вещь не может иметь какое-то свойство и не иметь его. Собственность предполагает
самостоятельность, заинтересованность и ответственность. Заинтересованность – это, очевидно, не ответственность, а ответственность – не самостоятельность. Получается вопреки сказанному
вначале, что собственность включает самостоятельность и несамостоятельность,
ответственность и безответственность», «Компания, получившая когда-то кредит от
банка, теперь ничего ему уже не должна, так как она стала иной: в ее правлении
не осталось никого из тех, кто просил ссуду».
Все эти и подобные им софизмы являются логически
неправильными рассуждениями, выдаваемыми за правильные. Софизмы используют
многозначность слов обычного языка, сокращения и т.д. Нередко софизм
основывается на таких логических ошибках, как подмена тезиса доказательства,
несоблюдение правил логического вывода, принятие ложных посылок за истинные и
т.п. Говоря о мнимой убедительности софизмов, древнеримский философ Сенека
сравнивал их с искусством фокусников: мы не можем сказать, как совершаются их
манипуляции, хотя твердо знаем, что все делается совсем не так, как нам
кажется. Ф. Бэкон сравнивал того, кто прибегает к софизмам, с лисой, которая
хорошо петляет, а того, кто раскрывает софизмы, – с
гончей, умеющей распутывать следы.
Софизму, как ошибке, сделанной умышленно, с намерением
ввести кого-то в заблуждение, обычно противопоставляется паралогизм – непреднамеренная
ошибка в рассуждении, обусловленная нарушением законов и правил логики.
Паралогизм не является, в сущности, обманом, так как не связан с умыслом
подменить истину ложью.
Кажущаяся простота софизмов
Вопрос о софизмах не является, однако, таким простым,
каким он представляется с первого взгляда. Обычно софизмы являются
интеллектуальным мошенничеством, заслуживающим осуждения. Бывают вместе с тем
случаи, когда софизм оказывается своеобразной формой постановки глубоких, но
еще не вполне ясных проблем. В этих ситуациях анализ софизма не может быть
завершен раскрытием логической или фактической ошибки, допущенной в нем. Это
как раз самая простая часть дела. Сложнее уяснить проблемы, стоящие за
софизмом, и тем самым раскрыть источник недоумения и беспокойства, вызываемого
им, и объяснить, что придает ему видимость убедительного рассуждения.
Эту сторону дела лучше всего пояснить на примере
софизмов, сформулированных еще в древности.
Софизмы существуют и обсуждаются более двух
тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы – всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на
чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним
непонятны.
Имеются, конечно, случаи, и, возможно, нередкие, когда
ошибки в рассуждении используются с намерением ввести кого-то в заблуждение. Но
это явно не относится к большинству древних софизмов.
Когда были сформулированы первые софизмы, о правилах
логики не было известно. Говорить в этой ситуации об умышленном нарушении
законов и правил логики можно только с натяжкой. Тут что-то другое. Ведь
несерьезно предполагать, что с помощью софизма «Рогатый» можно убедить
человека, что он рогат. Сомнительно также, что с помощью софизма «Лысый» кто-то
надеялся уверить окружающих, что лысых людей нет. Невероятно, что софистическое
рассуждение способно заставить кого-то поверить, что его отец – пес. Речь здесь, очевидно, идет не о «рогатых»,
«лысых» и т.п., а о чем-то совершенно ином и более значительном. И как раз,
чтобы подчеркнуть это обстоятельство, софизм формулируется так, что его
заключение является заведомо ложным, прямо и резко противоречащим фактам.
Возникновение софизмов обычно связывается с философией
софистов (Древняя Греция, V–IV вв. до н.э.), которая их
обосновывала и оправдывала. Однако софизмы существовали задолго до
философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы
позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Термин «софизм»
впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не
действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона,
направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно
софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах.
Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись
скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.
Характерно, что для широкой публики софистами были
также Сократ, Платон и сам Аристотель. Не случайно Аристофан в комедии «Облака»
представил Сократа типичным софистом. В ряде диалогов Платона человеком,
старающимся запутать своего противника тонкими вопросами, выглядит иногда в
большей мере Сократ, чем Протагор.
Широкую распространенность софизмов в Древней Греции
можно понять, только предположив, что они как-то выражали дух своего времени и
являлись одной из особенностей античного стиля мышления.
Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и
цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их
неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти
софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.
Взять, к примеру, доказательство того, что глаза не
нужны для зрения, поскольку, закрыв любой из них, мы продолжаем видеть. Только
ли комичная ерунда здесь?
Или такое рассуждение:
«Тот, кто лжет, говорит о
деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не
лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем
невозможно ни мыслить, ни говорить».
Софизмы и логический анализ
языка
Эту игру понятиями Платон представлял просто как
смешное злоупотребление языком и сам, придумывая софизмы, не раз показывал
софистам, насколько легко подражать их искусству играть словами. Но нет ли
здесь и второго, более глубокого и серьезного плана? Не вытекает ли отсюда
интересная для логики мораль?
И, как это ни кажется поначалу странным, такой план
здесь определенно есть и такую мораль, несомненно, можно извлечь. Нужно только
помнить, что эти и подобные им рассуждения велись очень давно. Так давно, что
не было даже намеков на существование особой науки о доказательстве и
опровержении, не были открыты ни законы логики, ни сама идея таких законов.
Все эти софистические игры и шутки, несерьезность и
увертливость в споре, склонность отстаивать самое нелепое положение и с
одинаковой легкостью говорить «за» и «против» любого тезиса, словесная
эквилибристика, являющаяся вызовом как обычному употреблению языка, так и
здравому смыслу, – все это только поверхность, за которой скрывается
глубокое и серьезное содержание. Оно не осознавалось ни самими софистами, ни их
противниками, включая Платона и Аристотеля, но оно очевидно сейчас.
В софистике угас интерес к вопросу, как устроен мир,
но осталась та же мощь абстрагирующей деятельности, какая была у предшествующих
философов. И одним из объектов этой деятельности стал язык. В софистических
рассуждениях он подвергается всестороннему испытанию, осматривается,
ощупывается, переворачивается с ног на голову и т.д. Это испытание языка
действительно напоминает игру, нередко комичную и нелепую для стороннего
наблюдателя, но в основе своей подобную играм подрастающих хищников,
отрабатывающих в них приемы будущей охоты. В словесных упражнениях, какими были
софистические рассуждения, неосознанно отрабатывались первые, конечно, еще
неловкие приемы логического анализа языка и мышления.
Обычно
Аристотеля, создавшего первую последовательную логическую теорию, рисуют как
прямого и недвусмысленного противника софистов во всех аспектах. В общем это
так. Однако в отношении логического анализа языка он был прямым продолжателем
начатого ими дела. И можно сказать, что, если бы не было Сократа и софистов, не
создалось бы почвы для научного подвига создания логики.
Софисты придавали исключительное значение
человеческому слову и первыми не только подчеркнули, но и показали на деле его
силу. «Слово, – говорил софист Горгий, – есть
великий властелин, который, обладая весьма малым и совершенно незаметным телом,
совершает чудеснейшие дела. Ибо оно может и страх изгнать, и печаль уничтожить,
и радость вселить, и сострадание пробудить... То же самое значение имеет сила
слова в отношении к настроению души, какую сила лекарства относительно природы
тел. Ибо подобно тому, как из лекарств одни изгоняют из тела одни соки, другие
иные, и одни из них устраняют болезнь, а другие прекращают жизнь, точно так же
и из речей одни печалят, другие радуют, третьи устрашают, четвертые ободряют,
некоторые же отравляют и околдовывают душу, склоняя ее к чему-нибудь дурному».
Язык, являвшийся до софистов только незаметным
стеклом, через которое рассматривается мир, со времени софистов впервые стал
непрозрачным. Чтобы сделать его таким, а тем самым превратить его в объект
исследования, необходимо было дерзко и грубо обращаться с устоявшимися и
инстинктивными правилами его употребления. Превращение языка в серьезный
предмет особого анализа, в объект систематического исследования было первым
шагом в направлении создания науки логики.
Софизмы как особая форма
постановки проблем
В обстановке, когда нет еще связной и принятой
большинством исследователей теории, твердой в своем ядре и развитой в деталях,
проблемы ставятся во многом в расчете на будущую теорию. И они являются столь
же расплывчатыми и неопределенными, как и те теоретические построения и
сведения, в рамках которых они возникают.
Эту особую форму выдвижения проблем можно назвать парадоксальной,
или софистической. Она подобна в своем существе тому способу, каким
в античности поднимались первые проблемы, касающиеся языка и логики.
Отличительной особенностью софизма является его
двойственность, наличие, помимо внешнего, еще и определенного внутреннего
содержания. В этом он подобен символу и притче.
Подобно притче, внешне софизм говорит о хорошо
известных вещах. При этом рассказ обычно строится так, чтобы поверхность не
привлекала самостоятельного внимания и тем или иным способом – чаще всего путем противоречия здравому смыслу – намекала на иное, лежащее в глубине содержание. Последнее,
как правило, неясно и многозначно. Оно содержит в неразвернутом виде, как бы в
зародыше, проблему, которая чувствуется, но не может быть сколько-нибудь ясно
сформулирована до тех пор, пока софизм не помещен в достаточно широкий и
глубокий контекст. Только в нем она обнаруживается в сравнительно отчетливой
форме. С изменением контекста и рассмотрением софизма под углом зрения иного
теоретического построения обычно оказывается, что в том же софизме скрыта
совершенно иная проблема.
В русских сказках встречается мотив очень
неопределенного задания. «Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что».
Как это ни удивительно, однако герой, отправляясь «неизвестно куда», находит
именно то, что нужно. Задача, которую ставит софизм, подобна этому заданию, хотя
и намного более определенна.
В притче «Перед параболами» Ф. Кафка пишет: «Слова
мудрецов подобны параболам. Когда мудрец говорит: “Иди туда”, то он не имеет в
виду, что ты должен перейти на другую сторону. Нет, он имеет в виду некое
легендарное “Там”, нечто, чего мы не знаем, что и он сам не мог бы точнее
обозначить». Это точная характеристика софизма как разновидности притчи. Нельзя
только согласиться с Кафкой, что «все эти параболы означают только одно – непостижимое непостижимо». Содержание софизмов разностороннее
и глубже, и оно, как показывает опыт их исследования, вполне постижимо. В
заключение обсуждения проблем, связанных с софизмами, необходимо подчеркнуть,
что не может быть и речи о реабилитации или каком-то оправдании тех
рассуждений, которые преследуют цель выдать ложь за истину, используя для этого
логические или семантические ошибки.
Речь идет только
о том, что слово «софизм» имеет, кроме этого современного и хорошо устоявшегося
смысла, еще и иной смысл. В этом другом смысле софизм представляет собой
неизбежную на определенном этапе развития теоретического мышления форму
постановки проблем. Сходным образом и само слово «софист» означает не только
«интеллектуального мошенника», но и философа, впервые задумавшегося над
проблемами языка и логики.
Все в истории повторяется, появляясь в первый раз как
трагедия, а во второй – как фарс. Перефразируя этот
афоризм, можно сказать, что софизм, впервые выдвигающий некоторую проблему,
является, в сущности, трагедией недостаточно зрелого и недостаточно знающего
ума, пытающегося как-то понять то, что он пока не способен выразить даже в
форме вопроса. Софизм, вуалирующий известную и, возможно, уже решенную
проблему, повторяющий тем самым то, что уже пройдено, является, конечно,
фарсом.