ЗАКОНЫ ЛОГИКИ
Логические законы как тавтологии
В логике, как и во всякой
науке, главное – законы. Логических законов бесконечно много, и в этом ее
отличие от большинства других наук. Однородные законы объединяются в логические
системы, которые тоже обычно именуются логиками.
Без логического закона
нельзя понять, что такое логическое следование и что такое доказательство.
Правильное, или, как обычно говорят, логичное, мышление – это мышление по
законам логики, по тем абстрактным схемам, которые фиксируются ими. Законы
логики составляют тот невидимый каркас, на котором держится последовательное
рассуждение и без которого оно превращается в хаотическую, бессвязную речь.
Формулировка закона
противоречия
Из бесконечного множества
логических законов наиболее популярен закон противоречия. Он был открыт одним
из первых и сразу же был объявлен наиболее важным принципом не только
человеческого мышления, но и самого бытия.
И вместе с тем в истории
логики не было периода, когда этот закон не оспаривался бы, и когда дискуссии
вокруг него совершенно затихали бы.
Закон противоречия говорит о
противоречащих друг другу высказываниях, т.е. таких высказываниях, одно из
которых является отрицанием другого. К ним относятся, например, высказывания
«Луна – спутник Земли» и «Луна не является спутником Земли», «Трава – зеленая»
и «Неверно, что трава зеленая» и т.п. В одном из противоречащих высказываний
что-то утверждается, в другом – это же самое отрицается.
Если обозначить буквой А произвольное
высказывание, то выражение не-А будет отрицанием этого высказывания.
Идея, выражаемая законом
противоречия, кажется простой и даже банальной: высказывание и его отрицание
не могут быть вместе истинными.
Используя вместо
высказываний буквы, эту идею можно передать так: неверно, что А и не-А.
Неверно, например, что трава зеленая и не зеленая, что Луна спутник Земли и
не спутник Земли, и т.д.
Закон противоречия говорит о
противоречащих высказываниях – отсюда его название. Но он отрицает
противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости –
отсюда другое распространенное название – закон непротиворечия.
Мнимые противоречия
Большинство неверных
толкований этого закона и большая часть попыток оспорить его приложимость, если
не во всех, то хотя бы в отдельных областях, связаны с неправильным пониманием
логического отрицания, а значит, и противоречия.
Высказывание и его отрицание
должны говорить об одном и том же предмете, рассматриваемом в одном и том же
отношении. Эти два высказывания должны совпадать во всем, кроме
одной-единственной вещи: то, что утверждается в одном, отрицается в другом. Если
эта простая деталь забывается, противоречия нет, поскольку нет отрицания.
В романе Ф. Рабле «Гаргантюа
и Пантагрюэль» Панург спрашивает Труйогана, стоит жениться или нет. Труйоган
как истинный философ отвечает довольно загадочно: и стоит, и не стоит. Казалось
бы, явно противоречивый, а потому невыполнимый и бесполезный совет. Но
постепенно выясняется, что никакого противоречия здесь нет. Сама по себе
женитьба – дело неплохое. Но плохо, когда, женившись, человек теряет интерес ко
всему остальному.
Видимость противоречия
связана здесь с лаконичностью ответа Труйогана. Если же пренебречь
соображениями риторики и, лишив ответ загадочности, сформулировать его
полностью, станет ясно, что он непротиворечив и может быть даже небесполезен.
Стоит жениться, если будет выполнено определенное условие, и не стоит жениться в противном случае. Вторая часть этого
утверждения не является, конечно, отрицанием первой его части.
Можно ли описать движение без противоречия? Иногда
отвечают, что такое описание не схватило бы самой сути движения – последовательной смены положения тела в пространстве
и во времени. Движение внутренне противоречиво и требует для своего описания
оборотов типа: «Движущееся тело находится в данном месте, и движущееся тело не
находится в данном месте». Поскольку противоречиво не только механическое
движение, но и всякое изменение вообще, любое описание явлений в динамике
должно быть – при таком подходе – внутренне
противоречивым. Разумеется, этот подход представляет собой недоразумение. Можно
просто сказать: «Дверь полуоткрыта». Но можно заявить: «Дверь открыта и не
открыта», имея при этом в виду, что она открыта, поскольку не является плотно
притворенной, и вместе с тем не открыта, потому что не распахнута настежь.
Подобный способ выражения представляет собой, однако,
не более чем игру в риторику и афористичность. Никакого действительного
противоречия здесь нет, так как нет утверждения и отрицания одного и того же,
взятого в одном и том же отношении. «Березы опали и не опали», – говорят одни, подразумевая, что некоторые березы уже
сбросили листву, а другие нет. «Человек и ребенок, и старик», – говорят другие, имея в виду, что один и тот же
человек в начале своей жизни ребенок, а в конце ее – старик. Действительного противоречия в подобных
утверждениях, конечно же, нет. Точно так же, как его нет в словах песни: «Речка
движется и не движется... Песня слышится и не слышится...»
Те примеры, которые обычно противопоставляют закону
противоречия, не являются подлинными противоречиями и не имеют к нему никакого
отношения.
В оде «Бог» – вдохновенном
гимне человеческому разуму – Г.Р. Державин соединяет вместе
явно несоединимое:
...Я телом в прахе истлеваю,
Умом громам повелеваю,
Я царь – я раб, я червь – я бог!
Но здесь нет противоречия.
Противоречие «смерти подобно...»
Если ввести понятия истины и лжи, закон противоречия
можно сформулировать так: никакое высказывание не является вместе истинным и
ложным.
В этой версии закон звучит особенно убедительно.
Истина и ложь – это две несовместимые характеристики высказывания.
Истинное высказывание соответствует действительности, ложное не соответствует
ей. Тот, кто отрицает закон противоречия, должен признать, что одно и то же
высказывание может соответствовать реальному положению вещей и одновременно не
соответствовать ему. Трудно понять, что означают в таком случае сами понятия
истины и лжи.
Иногда закон противоречия
формулируют следующим образом: из двух противоречащих друг другу
высказываний одно является ложным.
Эта версия подчеркивает опасность, связанную с
противоречием. Тот, кто допускает противоречие, вводит в свои рассуждения или в
свою теорию ложное высказывание. Тем самым он стирает границу между истиной и
ложью, что, конечно же, недопустимо.
Римский философ-стоик Эпиктет, вначале раб одного из телохранителей императора Нерона, а затем секретарь императора, так обосновывал необходимость закона противоречия: «Я хотел бы быть рабом человека, не признающего закона противоречия. Он велел бы мне подать себе вина, я дал бы ему уксуса или еще чего похуже. Он возмутился бы, стал бы кричать, что я даю ему не то, что он просил. А я сказал бы ему: ты не признаешь ведь закона противоречия, стало быть, что вино, что уксус, что какая угодно гадость: все одно и то же. И необходимости ты не признаешь, стало быть, никто не в силах принудить тебя воспринимать уксус как что-то плохое, а вино как хорошее. Пей уксус как вино и будь доволен. Или так: хозяин велел побрить себя. Я отхватываю ему бритвою ухо или нос. Опять начинаются крики, но я повторил бы ему свои рассуждения. И все делал бы в таком роде, пока не принудил бы хозяина признать истину, что необходимость непреодолима и закон противоречия всевластен».
Так комментировал Эпиктет слова Аристотеля о
принудительной силе необходимости и, в частности, закона противоречия.
Смысл этого эмоционального комментария сводится, судя
по всему, к идее, известной еще Аристотелю: из противоречия можно вывести все,
что угодно. Тот, кто допускает противоречие в своих рассуждениях, должен быть
готов к тому, что из распоряжения принести ему вина будет выведено требование
подать уксуса, из команды побрить – команда
отрезать нос и т.д.
Один из законов логики говорит: из противоречивого
высказывания логически следует любое высказывание. Появление в какой-то теории
противоречия ведет в силу этого закона к ее разрушению. В ней становится
доказуемым все, что угодно, были смешиваются с небылицами. Ценность такой
теории равна нулю.
Конечно, в реальной жизни все обстоит не так страшно,
как это рисует данный закон. Ученый, обнаруживший в какой-то научной теории противоречие,
не спешит обычно воспользоваться услугами закона, чтобы дискредитировать ее.
Чаще всего противоречие отграничивается от других положений теории, входящие в
него утверждения проверяются и перепроверяются до тех пор, пока не будет
выяснено, какое из них ложно. В конце концов ложное утверждение отбрасывается,
и теория становится непротиворечивой. Только после этого она обретает
уверенность в своем будущем.
Противоречие – это еще не
смерть научной теории. Но оно подобно смерти.
Неявные противоречия
Никто, пожалуй, не утверждает прямолинейно, что дождь
идет и не идет или что трава зеленая и одновременно не зеленая. А если и
утверждает, то только в переносном смысле. Противоречие вкрадывается в
рассуждение, как правило, в неявном виде. Чаще всего противоречие довольно
легко обнаружить.
В начале века, когда автомобилей стало довольно много,
в одном английском графстве было издано распоряжение: если два автомобиля
подъезжают одновременно к пересечению дорог под прямым углом, то каждый из них
должен ждать, пока не проедет другой. Это распоряжение внутренне противоречиво
и потому невыполнимо.
У детей популярны головоломки такого типа: что
произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро, сметающее на своем пути все,
попадет в несокрушимый столб, который нельзя ни повалить, ни сломать? Ясно, что
ничего не произойдет: подобная ситуация логически противоречива.
Однажды актер, исполнявший
эпизодическую роль слуги, желая хотя бы чуть-чуть увеличить свой текст,
произнес:
– Синьор, немой явился... и
хочет с вами поговорить. Давая партнеру возможность поправить ошибку, другой
актер ответил:
– А вы уверены, что он немой?
– Во всяком случае, он сам так
говорит...
Этот «говорящий немой» так же
противоречив, как и «знаменитый разбойник, четвертованный на три неравные половины»
или как «окружность со многими тупыми углами».
Противоречие может быть и не
таким явным.
М. Твен рассказывал о беседе
с репортером, явившимся взять у него интервью:
– Есть ли у вас брат?
– Да, мы звали его Билль.
Бедный Билль!
– Так он умер?
– Мы никогда не могли узнать
этого. Глубокая тайна парит над этим делом. Мы были – усопший и я – двумя близнецами и, имея две
недели от роду, купались в одной лохани. Один из нас утонул в ней, но никогда
не могли узнать который. Одни думают, что Билль, другие – что я.
– Странно, но вы-то, что вы об
этом думаете?
– Слушайте, я открою вам
тайну, которой не поверял еще ни одной живой душе. Один из нас двоих имел
особенный знак на левой руке, и это был я. Так вот тот ребенок, что утонул...
Понятно, что, если бы утонул сам рассказчик, он не
выяснял бы, кто же все-таки утонул: он сам или его брат. Противоречие
маскируется тем, что говорящий выражается так, как если бы он был неким третьим
лицом, а не одним из близнецов.
Скрытое противоречие является стержнем и маленького
рассказа польского писателя-юмориста Э. Липиньского:
«Жан Марк Натюр, известный
французский художник-портретист, долгое время не мог схватить сходство с
португальским послом, которого как раз рисовал. Расстроенный неудачей, он уже
собирался бросить работу, но перспектива высокого гонорара склонила его к
дальнейшим попыткам добиться сходства. Когда портрет близился к завершению и
сходство было уже почти достигнуто, португальский посол покинул Францию, и
портрет остался с несхваченным сходством.
Натюр продал его очень
выгодно, но с этого времени решил сначала схватывать сходство и только потом
приступать к написанию портрета».
Уловить сходство несуществующего портрета с оригиналом
так же невозможно, как невозможно написать портрет, не написав его.
В комедии Козьмы Пруткова «Фантазия» некто
Беспардонный намеревался продать «портрет одного знаменитого незнакомца: очень
похож...». Здесь ситуация обратная: если оригинал неизвестен, о портрете нельзя
сказать, что он похож. Кроме того, о совершенно неизвестном человеке нелепо
утверждать, что он знаменит.
Многообразные задачи
противоречия
Противоречие недопустимо в строгом рассуждении, когда
оно смешивает истину с ложью. Но в обычной речи, как очевидно из приведенных
примеров, у противоречия много разных задач.
Оно может выступать в качестве основы сюжета
какого-либо рассказа, быть средством достижения особой художественной
выразительности и т.д. «Настоящие художники слова, – пишет немецкий лингвист К. Фосслер, – всегда осознают метафорический характер языка. Они все
время поправляют и дополняют одну метафору другой, позволяя словам
противоречить друг другу и заботясь лишь о связности и точности своей мысли».
Реальное мышление – и тем более
художественное – не сводится к одной логичности. В нем важно все: и
ясность и неясность, и доказательность и зыбкость, и точное определение и
чувственный образ. В нем может оказаться нужным и противоречие, если оно к
месту.
Известно, что Н.В. Гоголь не жаловал чиновников. В
«Мертвых душах» они изображены с особым сарказмом. Они «были, более или менее,
люди просвещенные: кто читал Карамзина, кто “Московские ведомости”, кто даже и
совсем ничего не читал». Хороша же просвещенность, за которой только чтение
газеты, а то и вовсе ничего нет!
Испанский писатель XVI–XVII вв. Ф. Кеведо-и-Вильегас так озаглавил свою сатиру:
«Книга обо всем и еще о многом другом». Его не смутило то, что, если книга
охватывает «все», для «многого другого» уже не остается места.
Классической фигурой стилистики, едва ли не ровесницей
самой поэзии, является оксюморон – сочетание
логически враждующих понятий, вместе создающих новое представление. «Пышное
природы увяданье», «свеча темно горит» (А.С. Пушкин), «живой труп» (Л.Н.
Толстой), «ваш сын прекрасно болен» (В.В. Маяковский) – все это оксюмороны. А в строках стихотворения А.А.
Ахматовой «смотри, ей весело грустить, такой нарядно обнаженной» сразу два
оксюморона. Один поэт сказал о Г.Р. Державине: «Он врал правду Екатерине». Без
противоречия так хорошо и точно, пожалуй, не скажешь.
Нелогично утверждать одновременно А и не-А.
Но каждому хорошо понятно двустишие римского поэта I в. до н.э. Катулла:
Да! Ненавижу и вместе люблю. – Как возможно, ты спросишь?
Не объясню я. Но так чувствую, смертно томясь.
«...Все мы полны противоречий. Каждый из нас – просто мешанина несовместимых качеств. Учебник логики
скажет вам, что абсурдно утверждать, будто желтый цвет имеет цилиндрическую
форму, а благодарность тяжелее воздуха; но в той смеси абсурдов, которая
составляет человеческое “я”, желтый цвет вполне может оказаться лошадью с
тележкой, а благодарность – серединой будущей недели». Этот
отрывок из романа английского писателя С. Моэма «Луна и грош» выражает
сложность, а нередко и прямую противоречивость душевной жизни человека.
«...Человек знает, что хорошо, но делает то, что плохо», – с горечью замечал Сократ.
Вывод из сказанного как будто ясен. Настаивая на
исключении логических противоречий, не следует, однако, всякий раз «поверять
алгеброй гармонию» и пытаться втиснуть все многообразие противоречий в
прокрустово ложе логики.
Закон исключенного третьего, как и закон противоречия,
устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. И
опять-таки идея, выражаемая им, представляется поначалу простой и очевидной: из
двух противоречащих высказываний одно является истинным.
В использовавшейся уже полусимволической форме: А или
не-А, т.е. истинно высказывание А или истинно его отрицание,
высказывание не-А.
Конкретными приложениями этого закона являются, к
примеру, высказывания: «Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом
году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее».
Истинность отрицания равнозначна ложности утверждения.
В силу этого закон исключенного третьего можно передать и так: каждое
высказывание является истинным или ложным.
Само название закона выражает его смысл: дело обстоит
так, как описывается в рассматриваемом высказывании, или так, как говорит его
отрицание, и никакой третьей возможности нет.
Некоторые применения закона
Рассказывают историю про владельца собаки, который
очень гордился воспитанием своего любимца. На его команду: «Эй! Приди или не
приходи!» – собака всегда либо приходила, либо нет. Так что
команда в любом случае оказывалась выполненной.
Человек говорит прозой или не говорит прозой, кто-то
рыдает или не рыдает, собака выполняет команду или не выполняет и т.п. – других вариантов не существует. Мы можем не знать,
противоречива некоторая конкретная теория или нет, но на основе закона
исключенного третьего еще до начала исследования мы вправе заявить: она или
непротиворечива, или противоречива.
Этот закон с иронией обыгрывается в художественной
литературе. Причина иронии понятна: сказать «Нечто или есть, или его нет»,
значит, ровным счетом ничего не сказать. И смешно, если кто-то этого не знает.
В комедии Мольера «Мещанин во дворянстве» есть такой
диалог:
Г-н Журден. ...А теперь я должен открыть
вам секрет. Я влюблен в одну великосветскую даму, и мне хотелось бы, чтобы вы
помогли написать ей записочку, которую я собираюсь уронить к ее ногам.
Учитель философии. Конечно, вы хотите написать
ей стихи?
Г-н Журден. Нет, нет, только не стихи.
Учитель философии. Вы предпочитаете прозу?
Г-н Журден. Нет, я не хочу ни прозы, ни
стихов.
Учитель философии. Так нельзя: или то, или другое.
Г-н Журден. Почему?
Учитель философии. По той причине, сударь, что
мы можем излагать свои мысли не иначе как прозой или стихами.
Г-н Журден. Не иначе как прозой или
стихами?
Учитель философии. Не иначе, сударь. Все, что
не проза, то стихи, а что не стихи, то проза.
В известной сказке Л.
Кэрролла «Алиса в Зазеркалье» Белый Рыцарь намерен спеть Алисе «очень, очень
красивую песню».
– Когда я ее пою, все
рыдают... или...
– Или что? – спросила Алиса, не понимая,
почему Рыцарь вдруг остановился.
– Или ...не рыдают...
В сказке А.Н. Толстого
«Золотой ключик, или Приключения Буратино» народный лекарь Богомол
заключает после осмотра Буратино:
– Одно из двух: или пациент
жив, или он умер. Если он жив – он
останется жив или не останется жив. Если он мертв – его можно оживить или нельзя
оживить.
Сомнения в универсальности
закона
Оба закона – и закон
противоречия и закон исключенного третьего – были
известны еще до Аристотеля. Он первым дал, однако, их ясные формулировки,
подчеркнул важность этих законов для понимания мышления и бытия и вместе с тем
выразил определенные сомнения в универсальной приложимости второго из них.
«...Невозможно, – писал
Аристотель, – чтобы одно и то же в одно и то же время было и не
было присуще одному и тому же в одном и том же отношении (и все другое, что мы
могли бы еще уточнить, пусть будет уточнено во избежание словесных затруднений)
– это, конечно, самое достоверное из всех начал».
Такова формулировка закона противоречия и одновременно предупреждение о
необходимости сохранять одну и ту же точку зрения в высказывании и его
отрицании «во избежание словесных затруднений». Здесь же Аристотель
полемизирует с теми, кто сомневается в справедливости данного закона: «...не
может кто бы то ни было считать одно и то же существующим и несуществующим, как
это, по мнению некоторых, утверждает Гераклит».
О законе исключенного третьего: «...не может быть
ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то
одного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать».
Аристотель сомневался в приложимости закона
исключенного третьего к высказываниям о будущих событиях. В настоящий момент
наступление некоторых из них еще не предопределено. Нет причины ни для того,
чтобы они произошли, ни для того, чтобы они не случились. «Через сто лет в этот
же день будет идти дождь», – это высказывание сейчас скорее
всего ни истинно, ни ложно. Таким же является его отрицание. Ведь сейчас нет
причины ни для того, чтобы через сто лет пошел дождь, ни для того, чтобы его
через сто лет не было. Но закон исключенного третьего утверждает, что или само
высказывание, или его отрицание истинно. Значит, заключает Аристотель, хотя и
без особой уверенности, данный закон следует ограничить одними высказываниями о
прошлом и настоящем и не прилагать его к высказываниям о будущем.
Гораздо позднее, уже в XX в., рассуждения Аристотеля о законе исключенного
третьего натолкнули на мысль о возможности принципиально нового направления в
логике.
Законы двойного отрицания позволяют снимать и вводить
такое отрицание. Их можно выразить так: если неверно, что не-А, то А; если
А, то неверно, что не-А. Например: «Если неверно, что Аристотель не знал
закона двойного отрицания, то Аристотель знал этот закон», и наоборот.
Закон тождества
Самый простой из всех логических законов – это, пожалуй, закон тождества. Он говорит: если
утверждение истинно, то оно истинно, «если А, то А». Например,
если Земля вращается, то она вращается, и т.п. Чистое утверждение тождества
кажется настолько бессодержательным, что редко кем употребляется.
Древнекитайский философ Конфуций поучал своего
ученика: «То, что знаешь, считай, что знаешь, то, что не знаешь, считай, что не
знаешь». Здесь не просто повторение одного и того же: знать что-либо и знать,
что это знаешь, не одно и то же.
Закон тождества кажется в высшей степени простым и
очевидным. Однако и его ухитрялись истолковывать неправильно. Заявлялось,
например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаются неизменными,
тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Закон ничего не говорит
об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется,
то она меняется, а если она остается одной и той же, то она остается той же.
Закон контрапозиции
«Закон контрапозиции» – это
общее название для ряда логических законов, позволяющих с помощью отрицания
менять местами основание и следствие условного высказывания.
Один из этих законов, называемый иногда законом
простой контрапозиции, звучит так:
если первое влечет второе, то отрицание второго влечет
отрицание первого.
Например: «Если верно, что число, делящееся на шесть, делится на три, то верно, что число, не делящееся на три, не делится на шесть».
Другой закон контрапозиции говорит:
если верно, что если не-первое, то не-второе, то
верно,
что если второе, то первое.
Например: «Если верно, что рукопись, не получившая положительного отзыва, не публикуется, то верно, что публикуемая рукопись имеет положительный отзыв». Или другой пример: «Если нет дыма, когда нет огня, то если есть огонь, есть и дым».
Еще два закона контрапозиции:
если дело обстоит так, что если А, то не-В,
то если В, то не-А.
Например: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;
если верно, что если не-А, то В, то если не-В, то А.
Например: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».
Законы де Моргана
Именем английского логика XIX в. А. де Моргана называются логические законы, связывающие
с помощью отрицания высказывания, образованные с помощью союзов «и» или «или».
Один из этих законов можно выразить так:
отрицание высказывания «А и В»
эквивалентно высказыванию «не-А или не-В».
Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, если и только если завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».
Другой закон:
неверно, что А и
В,
если и только
если неверно А и неверно В.
Например:
«Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, если и только если
он не знает ни арифметики, ни геометрии».
На основе этих законов, используя
отрицание, связку «и» можно определить через «или», и наоборот:
«А и B» означает «неверно, что не-А или не-В»,
«А или В» означает
«неверно, что не-А и не-В».
Например: «Идет
дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня
холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».
Модус поненс и
модус толленс
«Модусом» в логике называется
разновидность некоторой общей формы рассуждения. Далее будут перечислены четыре
близких друг другу модуса, известных еще средневековым логикам.
Модус поненс, называемый иногда гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания перейти к утверждению следствия этого высказывания:
Если А, то В; А
В
Здесь высказывания «если А, то B» и «А» – посылки, высказывание «B» – заключение. Горизонтальная черта стоит вместо слова
«следовательно». Другая запись:
Если А, то В. А. Следовательно,
B
Благодаря этому модусу от посылки «если А, то В»,
используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «B». На этом
основании данный модус иногда называется «правилом отделения».
Например:
Если у человека диабет, он болен.
У человека диабет.____________
Человек болен
Рассуждение по правилу отделения идет от утверждения
основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это
логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически
неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного
высказывания к утверждению его основания. Например, правильным является
умозаключение:
Если таллий – металл, он проводит
электрический ток.
Таллий –
металл._________________________________
Таллий проводит
электрический ток.
Но внешне сходное с ним умозаключение:
Если бы электролит был металлом,
он проводил бы электрический ток.
Электролит проводит
электрический ток._______________________
Электролит – металл.
логически некорректно. Рассуждая по последней схеме,
можно прийти от истинных посылок к ложному заключению. Против смешения правила
отделения с этой неправильной схемой рассуждения предостерегает совет: от
подтверждения основания к подтверждению следствия рассуждать допустимо, от
подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.
Модусом толленсом называется следующая схема рассуждения:
Если А, то В. Неверно В
Неверно А
Здесь высказывания «если А, то B» и «неверно B» являются посылками, а высказывание «неверно А» – заключением.
Другая запись:
Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А.
Посредством этой схемы от утверждения условного
высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию
основания. Например: «Если гелий – металл, он
электропроводен. Гелий неэлектропроводен. Следовательно, гелий – не металл».
По схеме модус толленс идет процесс фальсификации, установления
ложности теории или гипотезы в результате ее эмпирической проверки. Из
проверяемой теории T выводится
некоторое эмпирическое утверждение А, т.е. устанавливается условное
высказывание «если Т, то А». Посредством эмпирических методов
познания (наблюдения или эксперимента) предложение А сопоставляется с
реальным положением дел. Выясняется, что А ложно и истинно предложение не-А.
Из посылок «если Т, то А» и «не-А» следует «не-T», т.е.
ложность теории Т.
С модусом
толленсом нередко смешивается внешне сходное с ним умозаключение:
Если А, то B Неверно А
Неверно В
В последнем умозаключении от утверждения условного
высказывания и отрицания его основания осуществляется переход к отрицанию его
следствия, что является логически некорректным шагом. Рассуждение по такой
схеме может привести от истинных посылок к ложному заключению. Например:
Если бы глина была металлом,
она была бы пластична.
Но глина не металл.
Неверно, что глина пластична.
Все металлы пластичны, и если бы глина была металлом,
она также являлась бы пластичной. Однако глина не является металлом. Но из
этого очевидным образом не вытекает, что глина не пластична. Кроме металлов,
есть и другие пластичные вещества, и глина в их числе.
Против смешения модуса толленса с данной некорректной схемой рассуждения предостерегает совет: от отрицания следствия условного высказывания заключать к отрицанию основания этого высказывания можно, а от отрицания основания к отрицанию следствия – нет.
Утверждающе-отрицающий
и
отрицающе-утверждающий модусы
Утверждающе-отрицающим
модусом именуются следующие схемы рассуждения:
|
Либо А
либо В;А Неверно В |
и |
Либо А, либо В;В Неверно А |
Другая запись:
Либо А, либо
В. А. Следовательно, не-В.
Либо А, либо В. В. Следовательно, не-А.
Посредством этих схем от утверждения двух
взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место,
осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо
второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:
Лермонтов родился
в Москве либо в Петербурге.
Он родился в
Москве._______________________
Неверно, что
Лермонтов родился в Петербурге.
Связка «либо, либо», входящая в утверждающе-отрицающий
модус, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе,
но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающим «или» (имеет место
первое или второе, но возможно, что и первое и второе) логически неправильно.
От истинных посылок оно может вести к ложному заключению. Например:
На Южном полюсе был Амундсен
или был Скотт.
На Южном полюсе был
Амундсен._____________
Неверно, что там был Скотт.
Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли
Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:
На Южном полюсе первым был
Амундсен или Скотт.
На этом полюсе первым был
Амундсен.____________
Неверно, что там первым был
Скотт.
Отрицающе-утверждающим модусом называется
разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не-первое;
значит, второе. Первая посылка – высказывание с «или»; вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из
членов первого сложного высказывания; заключением является второй член этого
высказывания.
|
А
или В; неверно А В |
или |
А
или В; неверно В А |
Другая форма записи:
А или В. Не-А. Следовательно, В.
А или В. Не-В. Следовательно, А.
Например:
Множество является конечным
или оно бесконечно.
Множество не является
конечным._______________
Множество бесконечно.
Средневековые логики называли утверждающе-отрицающий
модус модусом понендо толленс, а отрицающе-утверждающий модус – модусом толлендо поненс.
Конструктивная и
деструктивная дилеммы
Дилеммами называются рассуждения, посылками которых
являются по меньшей мере два условных высказывания (высказывание с «если, то») и одно разделительное
высказывание (высказывание с «или»).
Выделяются следующие разновидности дилеммы.
Простая конструктивная (утверждающая) дилемма:
Если А, то С.
Если В, то С.
А или В.
С
Например:
«Если прочту детектив Агаты Кристи, то хорошо проведу вечер; если прочту детектив Жоржа Сименона, тоже хорошо проведу вечер; прочту детектив Кристи или прочту детектив Сименона; значит, хорошо проведу вечер».
Рассуждение этого типа в математике принято называть доказательством
по случаям. Однако число случаев, перебираемых последовательно в
математическом доказательстве, обычно превышает два, так что дилемма
приобретает вид:
если бы было справедливо первое допущение, теорема
была бы верна;
при справедливости второго допущения теорема также
была бы верна;
при верном третьем допущении теорема верна;
если верно четвертое допущение, теорема верна;
справедливо или первое, или второе, или третье, или
четвертое допущение.
Значит, теорема верна.
Сложная конструктивная дилемма:
Если А, то В.
Если С, то D.
А или С.
В или D.
Например:
«Если будет дождь, мы пойдем в кино; если будет холодно, пойдем в театр; будет дождь или будет холодно; следовательно, мы пойдем в кино или пойдем в театр».
Простая деструктивная (отрицающая) дилемма:
Если А, то В.
Если А, то С.
Неверно В или неверно С.
Неверно А.
Например:
«Если число делится на 6, то оно делится на 3; если число делится на 6, то оно делится на 2; рассматриваемое число не делится на 2 или не делится на 3; следовательно, число не делится на 6».
Сложная деструктивная дилемма:
Если А, то В.
Если С, то D.
Не-В или не-D.
Не-А или не-С,
Например:
«Если поеду на север, то попаду в Тверь; если поеду на юг, то попаду в Тулу; но не буду в Твери или не буду в Туле; следовательно, не поеду на север или не поеду на юг».
ЛОГИЧЕСКИЕ
ЗАКОНЫ КАК ТАВТОЛОГИИ
Логические законы интересны, конечно, и сами по себе.
Но если они действительно являются важными элементами механизма мышления – а это, несомненно, так, – они должны быть неразрывно связаны с другими
элементами этого механизма. И прежде всего с центральным понятием логики – понятием логического следования и, значит, с понятием
доказательства.
Современная логика устанавливает такую связь. Доказать
утверждение – значит показать, что оно является логическим
следствием других утверждений, истинность которых уже установлена. Заключение
логически следует из принятых посылок, если оно связано с ними логическим
законом.
Без логического закона нет логического следования и
нет самого доказательства.
В обычном языке слово «тавтология» означает повторение
того, что уже было сказано: «Жизнь есть жизнь» или «Не повезет так не повезет».
Тавтологии бессодержательны и пусты, они не несут
никакой информации. От них стремятся избавиться как от ненужного балласта,
загромождающего речь и затрудняющего общение.
Иногда, правда, случается, что тавтология наполняется
вдруг каким-то чужим содержанием. Попадая в определенный контекст, она как бы
принимается светить отраженным светом.
Французский капитан Ла Паллис пал в битве при Павии в
1525 г. В его честь солдаты сложили дошедшую до наших дней песню «За четверть
часа до смерти он был еще живой...». Понятая буквально, эта строка песни,
ставшая ее названием, является тавтологией. Как таковая она совершенно пуста.
Всякий человек до самой своей смерти жив. Сказать о ком-то, что он был жив за
день до своей смерти или за четверть часа до нее, значит, ровным счетом ничего
о нем не сказать.
И тем не менее какая-то мысль, какое-то содержание за
этой строкой стоит. Оно каким-то образом напоминает о бренности человеческой
жизни и особенно жизни солдата, о случайности и, так сказать, неожиданности
момента смерти и о чем-то еще другом.
Один писатель сказал о своем герое: он дожил до самой
смерти, а потом умер. Козьме Пруткову принадлежит афоризм: «Не будь цветов, все
ходили бы в одноцветных одеяниях». Буквально говоря, это тавтологии и пустота.
Но на самом деле смысл здесь все-таки есть, хотя это и не собственный смысл.
С легкой руки Л. Витгенштейна слово «тавтология» стало
широко использоваться для характеристики законов логики.
Став логическим термином, оно получило строгие
определения применительно к отдельным разделам логики. В общем случае логическая
тавтология – это выражение, остающееся истинным независимо от того, о какой
области объектов идет речь, или «всегда истинное выражение».
Все законы логики являются логическими тавтологиями.
Если в формуле, представляющей закон, заменить переменные любыми постоянными
выражениями соответствующей категории, эта формула превратится в истинное
высказывание.
Например, в формулу «А или не-А», представляющую
закон исключенного третьего, вместо переменной А должны подставляться
высказывания, т.е. выражения языка, являющиеся истинными или ложными.
Результаты таких подстановок: «Дождь идет или не идет», «Два плюс два равно
нулю или не равно нулю», «Бог существует или его нет» и т.п. Каждое из этих
сложных высказываний истинно. И какие бы дальнейшие высказывания ни
подставлялись вместо А – как истинные, так и ложные, – результат будет тем же –
полученное высказывание будет истинным.
Аналогично в случае формул, представляющих закон
противоречия, закон тождества, закон двойного отрицания и т.д. «Неверно, что
Бог существует и не существует; дождь идет и не идет; что я иду быстро и не иду
быстро» – все это высказывания, полученные из формулы:
«Неверно, что А и не-А», и все они являются истинными. «Если Бога
нет, то его нет; если я иду быстро, то я иду быстро; если два равно нулю, то
два равно нулю» – это результаты подстановок в формулу «Если А, то
А» и опять-таки истинные высказывания.
Тавтологический характер законов логики послужил
отправным пунктом для многих спекуляций по их поводу.
Из тавтологии «Дождь идет или не идет» мы ничего не
можем узнать о погоде. Тавтология «Неверно, что Бог есть и его нет» ровным
счетом ничего не говорит о существовании Бога. Ни одна тавтология не несет
содержательной информации о мире.
Тавтология не описывает никакого реального положения
вещей. Она совместима с любым таким положением. Немыслима ситуация,
сопоставлением с которой можно было бы тавтологию опровергнуть.
Эти специфические особенности тавтологий были
истолкованы как несомненное доказательство отсутствия какой-либо связи законов
логики с действительностью.
Такое «исключительное положение» законов логики среди
всех предложений подразумевает прежде всего, что законы логики представляют
собой априорные, известные до всякого опыта истины. Они не являются
бессмысленными, но вместе с тем не имеют и содержательного смысла. Их
невозможно ни подтвердить, ни опровергнуть ссылкой на опыт.
Действительно ли законы логики не несут никакой информации?
Если бы это было так, они по самой своей природе
решительно отличались бы от законов других наук, описывающих действительность и
что-то говорящих о ней.
Мысль об информационной пустоте логических законов,
конечно, ошибочна. В основе ее лежит крайне узкое истолкование опыта,
способного подтверждать научные утверждения и законы. Этот опыт сводится к
фрагментарным, изолированным ситуациям или фактам. Они достаточны для проверки
истинности элементарных описательных утверждений типа «Идет дождь» или «Я иду
быстро». Но явно недостаточны для суждения об истинности абстрактных
теоретических обобщений, опирающихся не на отдельные разрозненные факты, а на
совокупный, систематический опыт. Даже законы опытных наук, подобных биологии
или физике, нельзя обосновать простой ссылкой на факты и конкретику. Тем более
это невозможно сделать в случае самых абстрактных из всех законов – законов логики. Они должны черпать свое обоснование
из предельно широкого опыта мыслительной, теоретической деятельности. За
законами логики стоит, конечно, опыт, и в этом они сходны со всеми научными
законами. Но опыт не в форме каких-то изолированных, доступных наблюдению
ситуаций, а конденсированный опыт всей истории человеческого познания.
Тавтологии обычного языка нередко наполняются
содержанием, пришедшим со стороны, и светят отраженным светом. Так же обстоит
дело и с логическими тавтологиями.
Изолированная от других тавтологий, оторванная от
языка и от истории познания, логическая тавтология блекнет и создает
впечатление отсутствия всякого содержания.
Это еще раз подтверждает мысль, что рассуждения о
смысле и значении отдельных выражений языка, изъятых из среды своего
существования, допустимы и справедливы только в ограниченных пределах. Нужно
постоянно иметь в виду, что язык – это единый,
целостный организм, части которого взаимосвязаны, взаимообусловлены и не
способны действовать вне его.
Кроме того, сам язык не является некой самодостаточной
системой. Он погружен в более широкую среду познания и социальной жизни,
когда-то создавшей его и с тех пор постоянно его воссоздающей.